Tartalomjegyzék

• Vektorszámítás II.
• Impresszum
• ELŐSZÓ
• ELŐSZÓ A MÁSODIK KÖTETHEZ
• I. A DIFFERENCIÁL- ÉS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS ELEMEI
  • 1. A differenciálszámítás elemei
    • 1.1. A differenciálszámítás néhány elemi szabálya
    • 1.2. Az inverz függvény deriváltja
      • 1.2.1. Példák az inverz függvény deriváltjának meghatározására
    • 1.3. Magasabb rendű differenciálhányadosok
    • 1.4. A differenciáloperátor
    • 1.5. Szorzatfüggvény n-edik deriváltja
    • 1.6. A differenciálszámítás középértéktételei
      • 1.6.1. Rolle tétele
      • 1.6.2. A Lagrange-középértéktétel
    • 1.7. A parciális derivált
      • 1.7.1. Vegyes parciális deriváltak
      • 1.7.2. A Young-tétel
  • 2. Vektor- és tenzorfüggvények deriválása
    • 2.1. Vektor-skalár függvények deriváltja
    • 2.2. Tenzor-skalár függvények deriváltja
    • 2.3. Vektor-skalár függvények deriválási szabályai
    • 2.4. Tenzor-skalár függvények deriválási szabályai
      • 2.4.1. A reciprok tenzor deriváltja
    • 2.5. A operátor
      • 2.5.1. A operátor reprezentációi
    • 2.6. Alkalmazások
      • 2.6.1. Körmozgás
      • 2.6.2. Tengely körüli forgás
      • 2.6.3. Merev test súlypont körüli forgása
      • 2.6.4. A Newton-törvény és az impulzusmomentum-törvény
      • 2.6.5. Az Euler-egyenletek
  • 3. Az integrálszámítás elemei
    • 3.1. Az integrál fogalma
    • 3.2. A határozott integrál tulajdonságai
    • 3.3. Az integrál függése a határoktól
    • 3.4. A határozott integrál differenciálhányadosa
    • 3.5. A határozatlan integrál
    • 3.6. Néhány integrálszámítási eljárás
      • 3.6.1. Összeg integrálja
      • 3.6.2. Parciális integrálás
      • 3.6.3. Integrálás új változó bevezetésével
  • 4. Függvényapproximáció és numerikus eljárások
    • 4.1. Függvényapproximáció
    • 4.2. Sorfejtés
      • 4.2.1. A L’Hospital-szabály
    • 4.3. Numerikus differenciálás és integrálás
      • 4.3.1. Egy segédtétel
      • 4.3.2. A differenciahányados
      • 4.3.3. Numerikus integrálás
• II. VEKTOR- ÉS TENZORMEZŐK DIFFERENCIÁLÁSA
  • 5. A mező fogalma, differenciáloperátorok
    • 5.1. Skalár- és vektormező
    • 5.2. A többváltozós függvények differenciálásával kapcsolatos tételek
      • 5.2.1. A teljes derivált
      • 5.2.2. Alkalmazás. Szorzatfüggvény magasabb rendű deriváltjai
      • 5.2.3. Alkalmazás. Példa szorzatfüggvény deriválására
      • 5.2.4. Két- és többparaméteres esetek
      • 5.2.5. Többváltozós függvény inverzének deriváltja
      • 5.2.6. A determináns deriváltja
    • 5.3. Az iránymenti derivált és a gradiens
      • 5.3.1. A gradiens vektor és a függvény megváltozása
      • 5.3.2. Alkalmazás
    • 5.4. A rotáció
      • 5.4.1. Alkalmazások
    • 5.5. A divergencia
      • 5.5.1. A divergencia fizikai jelentése
    • 5.6. A deriválttenzor
      • 5.6.1. A deriválttenzor, a divergencia és a rotáció kapcsolata
    • 5.7. Differenciálási szabályok
    • 5.8. A nabla szimbolika
    • 5.9. Másodrendű differenciáloperátorok
    • 5.10. Alkalmazások
      • 5.10.1. Kiterjedt töltésrendszer elektromos tere
      • 5.10.2. Elektromos dipólusok mezői
      • 5.10.3. Mágneses dipólusok mezői
      • 5.10.4. Áramok mágneses tere
      • 5.10.5. Az időben változó elektromágneses mező
      • 5.10.6. A Maxwell-egyenletek
      • 5.10.7. Megmaradási tételek az elektromágneses térben
      • 5.10.8. A hidrodinamikai totális időderivált
  • 6. Differenciáloperátorok ferdeszögű reprezentációja
    • 6.1. Bevezető ismétlés
    • 6.2. A gradiens
    • 6.3. A deriválttenzor
    • 6.4. A divergencia
    • 6.5. A rotáció
• III. DIFFERENCIÁLÁS GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTA-RENDSZEREKBEN
  • 7. Görbevonalú koordináta-rendszerek
    • 7.1. Bevezetés
    • 7.2. Koordinátavonalak és -felületek
    • 7.3. A megengedett koordinátatranszformációk
    • 7.4. A ferdeszögű és görbevonalú koordináta-rendszerek kapcsolata
    • 7.5. Vektorok görbevonalú koordináta-rendszerben vett reprezentációja
    • 7.6. Műveletek görbevonalú vektorreprezentációkkal
      • 7.6.1. A skaláris szorzat és a metrikus tenzor
      • 7.6.2. Kovariáns és kontravariáns komponensek
    • 7.7. Alkalmazás
      • 7.7.1. Hengerkoordináták
      • 7.7.2. Térbeli polárkoordináták
  • 8. Differenciáloperátorok görbevonalú koordináta-rendszerekben
    • 8.1. A gradiens
    • 8.2. A deriválttenzor
      • 8.2.1. Kitüntetett koordináta-rendszerek
      • 8.2.2. A párhuzamos eltolás
      • 8.2.3. A deriválttenzor görbevonalú reprezentációja
      • 8.2.4. Vektormező komponenseinek parciális deriváltjai
      • 8.2.5. A Christoffel-szimbólumok
      • 8.2.6. A deriválttenzor explicit előállítása
      • 8.2.7. Kontravariáns vektor deriválttenzora
      • 8.2.8. A deriválttenzor transzformációja
    • 8.3. A Christoffel-szimbólumok néhány tulajdonsága
    • 8.4. A kovariáns deriválás szabályai
      • 8.4.1. Definíciók
      • 8.4.2. Deriválási szabályok
      • 8.4.3. A metrikus tenzor kovariáns deriváltja
    • 8.5. A rotáció görbevonalú reprezentációja
    • 8.6. A divergencia görbevonalú reprezentációja
  • 9. Térgörbék geometriája
    • 9.1. Párhuzamos vektormező
      • 9.1.1. A párhuzamos eltolás
    • 9.2. Térgörbék tulajdonságai
      • 9.2.1. Térgörbe érintő- és normálvektora
      • 9.2.2. A Frenet-formulák
    • 9.3. Az egyenes egyenlete
  • 10. A metrikus tenzor általános alakja
    • 10.1. A Riemann–Christoffel-tenzor
    • 10.2. A Riemann–Christoffel-tenzor tenzorjellegének bizonyítása
    • 10.3. A Riemann–Christoffel-tenzor tulajdonságai
      • 10.3.1. A Riemann–Christoffel-tenzor és a párhuzamos eltolás
    • 10.4. Néhány fontos tenzormennyiség
      • 10.4.1. A Ricci-tenzor
      • 10.4.2. Az Einstein-tenzor
  • 11. Alkalmazás
    • 11.1. Fizikai koordináták
    • 11.2. Néhány speciális görbevonalú koordináta-rendszer
      • 11.2.1. Hengerkoordináták
      • 11.2.2. Térbeli polárkoordináták
  • 12. Görbült felületek geometriája
    • 12.1. Felületi koordináták
      • 12.1.1. Vektorműveletek
      • 12.1.2. Kovariáns koordináták
      • 12.1.3. Tenzorok reprezentációja felületi koordináta-rendszerben
    • 12.2. A két- és háromdimenziós reprezentációk kapcsolata
    • 12.3. A sík geometriája
    • 12.4. Görbült felületek geometriája
    • 12.5. A párhuzamos eltolás
    • 12.6. Majdnem párhuzamos eltolás
    • 12.7. Alkalmazás
  • 13. A nem euklideszi geometriákról
    • 13.1. Kétdimenziós tartományok
    • 13.2. Háromdimenziós tartományok
    • 13.3. A nem euklideszi geometriák fizikai vonatkozásai
    • 13.4. Koordinátaértékek meghatározása távolságmérésekből
    • 13.5. Az euklideszi axiómák
• FÜGGELÉK
  • A függelék. Az index nélküli jelölésrendszer
    • A.1. Többdimenziós mennyiségek
      • A.1.1. A permutációs operátorok
      • A.1.2. A transzponált mátrix fogalmának általánosítása
      • A.1.3. A nabla operátor
    • A.2. Többdimenziós tenzorok
      • A.2.1. Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok
    • A.3. Tenzormezők deriváltjai
      • A.3.1. A Christoffel-szimbólumok
      • A.3.2. A kovariáns derivált
  • B függelék. Néhány függvény értelmezése
    • B.1. Az ex függvény
      • B.1.1. Az E(x) függvény tulajdonságai
    • B.2. Az ex függvény értelmezésének kiterjesztése komplex változóra
    • B.3. Trigonometrikus függvények
    • B.4. A komplex logaritmus